Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor la numere întregi

 

Proiect didactic „Relațiile lui Viete - partea I”

 

Exemple de demonstrare a inegalităților

 

Metoda Inducției Matematice

Programul săptămânal al unui matematician

            De fapt, este vorba despre un „raport” pe care Julia Robinson (1919-1985), matematiciană americană cu importante rezultate în logică, fundamente, teoria jocurilor, informatica teoretică (inclusiv în rezolvarea problemei a zecea a lui Hilbert), l-a înaintat unui şef hiperzelos, care îi cerea o dare de seamă a activităţii zilnice. Era în primii ani după război, iar J. Robinson era tânără cercetătoare. „Raportul” ei are însă o semnificaţie mult mai largă şi subliniază cu umor şi maliţie că munca unui matematician nu poate fi măsurată cu instrumentele unei mentalităţi  contabiliceşti:

            „ Luni - încercat să demonstrez teorema;

              Marţi - încercat să demonstrez teorema;

              Miercuri - încercat să demonstrez teorema;

              Joi - încercat să demonstrez teorema;

              Vineri -  găsit contraexemplu; teorema era falsă!”

Memorator trigonometric

a unor formule

cu funcţii trigonometrice de acelaşi argument

Între funcţiile trigonometrice ale aceluiaşi unghi se pot stabili relaţii care permit exprimarea fiecăreia dintre ele prin oricare din celelalte, problemă care interesează în diferite aplicaţii: calculul valorilor funcţiilor trigonometrice ale unui unghi, cunoscându-se valoarea uneia dintre ele, restrângerea şi simplificarea unor expresii, verificări de identităţi, rezolvarea unor ecuaţii trigonometrice ş.a. . Multe din acestea pot fi realizate mai uşor cu ajutorul unui memorator trigonometric.

Memoratorul este sub forma unui hexagon în vârfurile căruia se scriu funcţiile trigonometrice în ordinea indicată în figură, iar în centru se pune numărul 1. Se pot reţine uşor formulele trigonometrice determinate cu următoarele reguli ale memoratorului:

a)      Suma pătratelor valorilor din vârfurile situate pe laturile orizontale ale triunghiurilor haşurate este egală cu pătratul valorii din al treilea vârf.

b)      Funcţiile trigonometrice situate în vârfurile diametral opuse au valori inverse (produsul lor este egal cu 1).

c)      Funcţia trigonometrică din oricare vârf este egală cu produsul funcţiilor din vârfurilor vecine (ex: sin x = tg x ∙ cos x).

a)   sin² x + cos² x = 1

tg² x + 1 = sec² x

1 + ctg² x = cosec² x

b)   tg x ∙ ctg x = 1

sin x ∙ cosec x = 1

cos  x ∙ sec x = 1

c)   sin x = tg x ∙ cos x

cos x = sin x ∙ ctg x

ctg x = cos x ∙ cosec x

cosec x = ctg x ∙ sec x

sec x = cosec x ∙ tg x

tg x = sec x ∙ sin x

Diderot, Euler şi ... Ăl de Sus

            Incidentul relatat mai jos – pentru că incident este – a avut loc, se pare, în anul 1774 şi a implicat următoarele personaje: Ecaterina a II-a, împărăteasa Rusiei între anii 1762-1796 (admiratoarea culturii şi proteguitoare a oamenilor de cultură), D. Diderot (1713-1784), cunoscutul enciclopedist francez, invitat la Petersburg între anii 1773-1774, unde a lucrat „ca mare bibliotecar” şi L. Euler (1707-1783), celebrul matematician, şi el oaspete al împărătesei din anul 1766 până la sfârşitul vieţii. 

            Diderot, pe rând deist, panteist, sceptic şi în final ateist, traversa la curte o perioadă de mare fervoare ateistă, mod de comportare apreciat ca nepotrivit de curtenii Ecaterinei a II-a. Împărăteasa a aprobat intenţia acestora de a-i da o lecţie prea expansivului necredincios, cerând totuşi ca ea să nu fie implicată făţiş în nici un fel, filosoful francez fiindu-i totuşi oaspete. Soluţia a fost întrezărită în persoana lui Euler. Într-o bună zi, Diderot a fost anunţat că un filosof rus, foarte învăţat în ale matematicii şi distins membru al Academiei, doreşte să-i prezinte, în faţa întregii curţi, o demonstraţie algebrică a existenţei lui Dumnezeu. Diderot a primit provocarea, convins fiind de lipsa de noimă a unei asemenea demonstraţii. În ziua anunţată, Euler a păsit grav în faţa curtenilor şi a pronunţat cu voce sonoră, convingătoare prin însăşi tonul folosit, următoarea frază: „Domnule, (a+bⁿ)/z = x, prin urmare Dumnezeu există! Ce aveţi de spus?”. Diderot ar fi avut poate câte ceva de spus despre această „demonstraţie”, dar, jicnit de râsul celor de faţă şi surclasat de autoritatea matematică a lui Euler, a înghiţit găluşca şi a tăcut molcom, precum boierul lui Ion Creangă. Iar peste câteva zile, i-a cerut împărătesei permisiunea de a părăsi Rusia, rugăminte ce i-a fost, bineînţeles, acceptată, spre liniştea bigoţilor de la curte.

            Anecdota, povestită de un literat francez (care-şi i-a rezerva de a spune că o ştie din auzite), a circulat apoi, cu o serie de adăugiri, unele neconvenabile lui Diderot, prin mai multe lucrări de istorie a matematicii. Fără a i se adăuga însă una din moralele ei posibile: matematica poate fi un excelent mijloc de intimidare a nematematicianului. (în volumul Mathematics tomorow, editat de L. A. Steen la Springer-Verlag, în 1981, există un întreg studiu asupra acestui subiect, „Mathematics as propaganda” de Neal Koblitz, prezentând numeroase exemple din lucrări recente de psihologie, politologie, din emisiuni de radio-TV sau din presă în care apare această funcţie mai puţin onestă a matematicii.) Iată că Euler a fost un (mare) predecesor şi în această direcţie …