Programul săptămânal al unui matematician

            De fapt, este vorba despre un „raport” pe care Julia Robinson (1919-1985), matematiciană americană cu importante rezultate în logică, fundamente, teoria jocurilor, informatica teoretică (inclusiv în rezolvarea problemei a zecea a lui Hilbert), l-a înaintat unui şef hiperzelos, care îi cerea o dare de seamă a activităţii zilnice. Era în primii ani după război, iar J. Robinson era tânără cercetătoare. „Raportul” ei are însă o semnificaţie mult mai largă şi subliniază cu umor şi maliţie că munca unui matematician nu poate fi măsurată cu instrumentele unei mentalităţi  contabiliceşti:

            „ Luni - încercat să demonstrez teorema;

              Marţi - încercat să demonstrez teorema;

              Miercuri - încercat să demonstrez teorema;

              Joi - încercat să demonstrez teorema;

              Vineri -  găsit contraexemplu; teorema era falsă!”

Memorator trigonometric

a unor formule

cu funcţii trigonometrice de acelaşi argument

Între funcţiile trigonometrice ale aceluiaşi unghi se pot stabili relaţii care permit exprimarea fiecăreia dintre ele prin oricare din celelalte, problemă care interesează în diferite aplicaţii: calculul valorilor funcţiilor trigonometrice ale unui unghi, cunoscându-se valoarea uneia dintre ele, restrângerea şi simplificarea unor expresii, verificări de identităţi, rezolvarea unor ecuaţii trigonometrice ş.a. . Multe din acestea pot fi realizate mai uşor cu ajutorul unui memorator trigonometric.

Memoratorul este sub forma unui hexagon în vârfurile căruia se scriu funcţiile trigonometrice în ordinea indicată în figură, iar în centru se pune numărul 1. Se pot reţine uşor formulele trigonometrice determinate cu următoarele reguli ale memoratorului:

a)      Suma pătratelor valorilor din vârfurile situate pe laturile orizontale ale triunghiurilor haşurate este egală cu pătratul valorii din al treilea vârf.

b)      Funcţiile trigonometrice situate în vârfurile diametral opuse au valori inverse (produsul lor este egal cu 1).

c)      Funcţia trigonometrică din oricare vârf este egală cu produsul funcţiilor din vârfurilor vecine (ex: sin x = tg x ∙ cos x).

a)   sin² x + cos² x = 1

tg² x + 1 = sec² x

1 + ctg² x = cosec² x

b)   tg x ∙ ctg x = 1

sin x ∙ cosec x = 1

cos  x ∙ sec x = 1

c)   sin x = tg x ∙ cos x

cos x = sin x ∙ ctg x

ctg x = cos x ∙ cosec x

cosec x = ctg x ∙ sec x

sec x = cosec x ∙ tg x

tg x = sec x ∙ sin x

Diderot, Euler şi ... Ăl de Sus

            Incidentul relatat mai jos – pentru că incident este – a avut loc, se pare, în anul 1774 şi a implicat următoarele personaje: Ecaterina a II-a, împărăteasa Rusiei între anii 1762-1796 (admiratoarea culturii şi proteguitoare a oamenilor de cultură), D. Diderot (1713-1784), cunoscutul enciclopedist francez, invitat la Petersburg între anii 1773-1774, unde a lucrat „ca mare bibliotecar” şi L. Euler (1707-1783), celebrul matematician, şi el oaspete al împărătesei din anul 1766 până la sfârşitul vieţii. 

            Diderot, pe rând deist, panteist, sceptic şi în final ateist, traversa la curte o perioadă de mare fervoare ateistă, mod de comportare apreciat ca nepotrivit de curtenii Ecaterinei a II-a. Împărăteasa a aprobat intenţia acestora de a-i da o lecţie prea expansivului necredincios, cerând totuşi ca ea să nu fie implicată făţiş în nici un fel, filosoful francez fiindu-i totuşi oaspete. Soluţia a fost întrezărită în persoana lui Euler. Într-o bună zi, Diderot a fost anunţat că un filosof rus, foarte învăţat în ale matematicii şi distins membru al Academiei, doreşte să-i prezinte, în faţa întregii curţi, o demonstraţie algebrică a existenţei lui Dumnezeu. Diderot a primit provocarea, convins fiind de lipsa de noimă a unei asemenea demonstraţii. În ziua anunţată, Euler a păsit grav în faţa curtenilor şi a pronunţat cu voce sonoră, convingătoare prin însăşi tonul folosit, următoarea frază: „Domnule, (a+bⁿ)/z = x, prin urmare Dumnezeu există! Ce aveţi de spus?”. Diderot ar fi avut poate câte ceva de spus despre această „demonstraţie”, dar, jicnit de râsul celor de faţă şi surclasat de autoritatea matematică a lui Euler, a înghiţit găluşca şi a tăcut molcom, precum boierul lui Ion Creangă. Iar peste câteva zile, i-a cerut împărătesei permisiunea de a părăsi Rusia, rugăminte ce i-a fost, bineînţeles, acceptată, spre liniştea bigoţilor de la curte.

            Anecdota, povestită de un literat francez (care-şi i-a rezerva de a spune că o ştie din auzite), a circulat apoi, cu o serie de adăugiri, unele neconvenabile lui Diderot, prin mai multe lucrări de istorie a matematicii. Fără a i se adăuga însă una din moralele ei posibile: matematica poate fi un excelent mijloc de intimidare a nematematicianului. (în volumul Mathematics tomorow, editat de L. A. Steen la Springer-Verlag, în 1981, există un întreg studiu asupra acestui subiect, „Mathematics as propaganda” de Neal Koblitz, prezentând numeroase exemple din lucrări recente de psihologie, politologie, din emisiuni de radio-TV sau din presă în care apare această funcţie mai puţin onestă a matematicii.) Iată că Euler a fost un (mare) predecesor şi în această direcţie …

Matematica şi ... nemurirea

             Matematica se descoperă încetul cu încetul. La început o foloseşti dintr-o necesitate şi abia mai târziu intri sub impulsul pasiunii. Talentul şi munca te ajută să înaintezi cu răbdare pe drumul lung spre înţelegerea tainelor ce s-au explicat cu ajutorul matematicii.

            Gauss spune că „Matematica este regina ştiinţelor”. Şi aceasta pentru că matematica înseamnă organizare, ceea ce stă la baza a tot ce evoluează, a tot ce rezistă în timp.

            Matematica înseamnă nemărginire. Şi dacă eşti deschis să descoperi adevărul din tine, adevărul din jurul tău, dar în acelaşi timp şi adevărul din matematică, vei fi surprins să vezi că matematica este un alt fel de a vorbi despre Dumnezeu.

            Prin toate din jur Îl descoperi pe Dumnezeu, deci şi prin matematică. M-am gândit astfel la un nou mod de abordare a algebrei.

            Iată un prim exemplu: stabilirea unei legături între timp, dreapta reală şi nemurire. Dacă ar fi „să vedem” timpul ca o variabilă deplasându-se pe dreapta reală de la -∞ la +∞, putem spune că vorbim de timpul dumnezeirii , pentru că numai Dumnezeu nu are nici început şi nici sfârşit. El este veşnic şi reprezintă infinitul. Dacă „vedem” timpul deplasându-se numai pe o semidreaptă de pe axa reală, de la un număr real spre +∞, putem spune că vorbim despre timpul sufletului, adică de la momentul zero al creaţiei sufletului (zămislirea), trecând prin moarte şi până la nemurire, la infinit. Iar dacă „vedem” doar de-a lungul unui segment de pe axa reală, putem spune că acesta este timpul materiei, pentru că doar materia are şi început şi sfârşit, ea are un timp limitat de existenţă, nu este veşnică, nu este nemuritoare. (Am spus „vedem” cu sensul de a găsi cu ochii minţii o asemănare între dreapta reală, ca noţiune teoretică, timpul, care se scurge  de-a lungul ei şi nemurirea, privită din toate unghiurile.)

            Un alt exemplu: tabla de adevăr a propoziţiei p→q. În accepţiunea mea Adevărul (A) corespunde lui Dumnezeu, Binelui Suprem, iar Falsul(F) corespunde diavolului, răului. Astfel:

Ÿ  implicaţia A→A este adevărată, adică este adevărat că din Dumnezeu iese numai ceva bun; chiar şi oamenii au fost buni la început, însă au avut libertatea de a alege între a asculta pe Dumnezeu sau a asculta de diavol.

Ÿ  implicaţia A→F este falsă, adică nu se poate ca din Dumnezeu să iasă ceva rău, iar dacă există răul acesta a apărut din neascultarea de Dumnezeu, din mândrie, din egoism, toate fiind posibile datorită libertăţii pe care ne-a dat-o însuşi Dumnezeu.

Ÿ  implicaţia F→A este adevărată, adică se poate ca din ceva rău, diabolic, să iasă ceva bun, prin întoarcerea la Dumnezeu, prin renunţarea la diavol, prin smerenie, prin recunoaşterea nimicniciei noastre şi a neputinţei de a face ceva fără putere de Sus.

Ÿ  Implicaţia F→F este adevărată, adică este adevărat că din diavol se poate să iasă ceva periculos, ceva diabolic,  numai dacă acceptăm să rămânem sub influenţa răului.

Prin aceste exemple se pune în evidenţă  strânsa legătură dintre matematică şi realitate şi astfel se dovedeşte, odată în plus, utilitatea matematicii ca ştiinţă în viaţa omului.